Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x   i + 2 y   j + 3 z   k   ,

S é o cubo com vértices ± 1 ,   ± 1 ,   ± 1 .

Passo 1

Galera, aqui S consiste de seis superfícies, as seis faces do cubo, conforme mostra a figura:

Para S 1 , temos:

r y ,   z = i + y   j + z   k   ,         - 1 ≤ y ≤ 1   ,       - 1 ≤ z ≤ 1

F r y ,   z = i + 2 y   j + 3 z   k

r y × r z = i + 0   j + 0   k

E portanto,

∫ ∫ S 1   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ( 1 ) d y   d z = 4

Passo 2

Faremos de modo muito análogo para as outras superfícies:

S 2   :       F = x   i + 2   j + 3 z   k   ,       r z × r x = j   ,       ∫ ∫ S 2   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 2 d x   d z = 2   .   4 = 8

S 3   :       F = x   i + 2 y   j + 3   k   ,       r x × r y = k   ,       ∫ ∫ S 3   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 3 d x   d y = 3   .   4 = 12

S 4   :       F = -   i + 2 y   j + 3 z   k   ,       r z × r y = - i   ,       ∫ ∫ S 4   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 1 d y   d z = 4

S 5   :       F = x   i - 2   j + 3 z   k   ,       r x × r z = - j   ,       ∫ ∫ S 5   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 2 d x   d z = 8

S 6   :       F = x   i + 2 y   j - 3   k   ,       r y × r x = - k   ,       ∫ ∫ S 6   F ∙ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 3 d x   d y = 12

Passo 3

Finalmente, temos:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∑ i = 1 6 ∫ ∫ S i   F ∙ d S = 4 + 8 + 12 + 4 + 8 + 12 = 48

Resposta

48

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