Avalie a integral.

∫ tan 4 ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar a tangente aplicando a secante, da seguinte forma:

∫ tan 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

∫ tan 2 ⁡ x ( 1 - sec 2 ⁡ x ) d x

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x - ∫ tan 2 ⁡ x d x

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x - ∫ ( 1 - sec 2 ⁡ x ) d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição na primeira integral:

u = tan ⁡ x                         d u = sec 2 ⁡ x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x - ∫ 1 - sec 2 ⁡ x d x = ∫ u 2 d u - ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x

Resolvendo a integral, fica assim:

∫ u 2 d u - ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = u 3 3 - [ tan ⁡ x - x ]

Substituindo o nosso valor de u :

∫ tan 4 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x + C

Finishh!! :)

Resposta

∫ tan 4 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x + C

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