Calcule a integral indefinida.

∫ 1 4 + x - 1 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Para simplificar um pouco as coisas, vamos fazer t = x - 1 com d t = d x :

I = ∫ 1 4 + x - 1 2   d x = ∫ 1 4 + t 2   d t

Agora vamos fazer t = 2 u , de tal forma que d t = 2   d u :

I = ∫ 1 4 + 4 u 2 ⋅ 2   d u = 1 2 ∫ 1 1 + u 2   d u

Passo 2

Agora nós fazemos a integral:

I = 1 2 arctan ⁡ u + C

Mas sabemos que u = t / 2 :

I = 1 2 arctan ⁡ t 2 + C

Por fim, como t = x - 1 :

I = 1 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

Resposta

1 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

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