Calcule a integral indefinida.

∫ 1 9 + 3 - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Para simplificar um pouco as coisas, vamos fazer t = 3 - x com d t = - d x :

I = ∫ 1 9 + 3 - x 2   d x = - ∫ 1 9 + t 2   d t

Agora vamos fazer t = 3 u , de tal forma que d t = 3   d u :

I = - ∫ 1 9 + 9 u 2 ⋅ 3   d u = - 1 3 ∫ 1 1 + u 2   d u

Passo 2

Agora nós fazemos a integral:

I = - 1 3 arctan ⁡ u + C

Mas sabemos que u = t / 3 :

I = - 1 3 arctan ⁡ t 3 + C

Por fim, como t = 3 - x :

I = - 1 3 arctan ⁡ 3 - x 3 + C

Resposta

- 1 3 arctan ⁡ 3 - x 3 + C

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