Enunciado

Avalie a integral:

int (2 x - 3)/(x^3 + 3 x) d x

Passo 1

Vamos começar separando essa integral em duas partes:

int (2 x - 3)/(x^3 + 3 x) d x = int (2 x)/(x^3 + 3 x) d x - int (3)/(x^3 + 3 x) d x

E vamos lidar com uma de cada vez, começando com a da esquerda. Vamos dividir por x no numerador e no denominador:

I_1 = int (2 x)/(x^3 + 3 x) d x = int (2)/(x^2 + 3) d x

Esse termo do denominador é muito suspeito, ele é muito parecido com uma integral conhecida:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctan x

Então vamos tentar deixar a nossa integral com essa cara fazendo uma substituição:

x = sqrt(3) v

d x = sqrt(3) d v

Substituindo isso na integral, ficamos com:

I_1 = int (2 sqrt(3))/((sqrt(3) v)^2 + 3) d v = (2 sqrt(3))/(3) int (1)/((v^2 + 1)) d v

Pronto, então a integral é:

I_1 = (2 sqrt(3))/(3) arctan ( v ) + C = (2 sqrt(3))/(3) arctan ((x)/(sqrt(3))) + C

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda integral:

I_2 = int (3)/(x^3 + 3 x) d x

Vamos tentar decompor essa integral em frações parciais:

(3)/(x^3 + 3 x) = (3)/(x (x^2 + 3)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 3)

A segunda fração tem um polinômio de segundo grau no denominador, por isso colocamos um de primeiro no seu numeraodr.

Para encontrar A , B e C , vamos multiplicar aquela equação por (x) (x^2 + 3) :

3 = A (x^2 + 3) + (B x + C) (x)

3 = (A + B) x^2 + C x + 3 A

E a partir disso podemos escrever um sistema:

{[[A + B = 0],[C = 0],[3 A = 3]]) => {[[A = 1],[B = - 1],[C = 0]])

Então:

(3)/(x (x^2 + 3)) = (1)/(x) - (x)/(x^2 + 3)

Passo 3

Ok, agora vamos tentar integrar isso:

I_2 = int ((1)/(x) - (x)/(x^2 + 3)) d x

I_2 = int (1)/(x) d x - int (x)/(x^2 + 3) d x

E as duas integrais podem ser resolvidas da mesma forma. Temos uma razão entre a derivada de uma função (ou quase) e a própria função: estamos falando de logaritmos!

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

- int (x)/(x^2 + 3) d x = - (1)/(2) ln |x^2 + 3| + C

Então:

I_2 = ln |x| - (1)/(2) ln |x^2 + 3| + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

I = I_1 - I_2

I = (2 sqrt(3))/(3) arctan ((x)/(sqrt(3))) - ln |x| + (1)/(2) ln |x^2 + 3| + C

Resposta

A integral vale (2 sqrt(3))/(3) arctan ((x)/(sqrt(3))) - ln |x| + (1)/(2) ln |x^2 + 3| + C .

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