Avalie a integral:

∫ 2 x - 3 x 3 + 3 x   d x

Passo 1

Vamos começar separando essa integral em duas partes:

∫ 2 x - 3 x 3 + 3 x   d x = ∫ 2 x x 3 + 3 x   d x - ∫ 3 x 3 + 3 x   d x

E vamos lidar com uma de cada vez, começando com a da esquerda. Vamos dividir por x no numerador e no denominador:

I 1 = ∫ 2 x x 3 + 3 x   d x = ∫ 2 x 2 + 3   d x

Esse termo do denominador é muito suspeito, ele é muito parecido com uma integral conhecida:

∫ 1 x 2 + 1   d x = arctan ⁡ x

Então vamos tentar deixar a nossa integral com essa cara fazendo uma substituição:

x = 3 v

d x = 3   d v

Substituindo isso na integral, ficamos com:

I 1 = ∫ 2 3 3 v 2 + 3   d v   = 2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1   d v

Pronto, então a integral é:

I 1 = 2 3 3 arctan ⁡ ( v ) + C = 2 3 3 arctan ⁡ x 3 + C

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda integral:

I 2 = ∫ 3 x 3 + 3 x   d x

Vamos tentar decompor essa integral em frações parciais:

3 x 3 + 3 x = 3 x x 2 + 3 = A x + B x + C x 2 + 3

A segunda fração tem um polinômio de segundo grau no denominador, por isso colocamos um de primeiro no seu numeraodr.

Para encontrar A ,   B e C , vamos multiplicar aquela equação por x x 2 + 3 :

3 = A x 2 + 3 + B x + C x

3 = A + B x 2 + C x + 3 A

E a partir disso podemos escrever um sistema:

A + B = 0 C = 0 3 A = 3         ⇒         A = 1 B = - 1 C = 0

Então:

3 x x 2 + 3 = 1 x - x x 2 + 3

Passo 3

Ok, agora vamos tentar integrar isso:

I 2 = ∫ 1 x - x x 2 + 3   d x

I 2 = ∫ 1 x   d x - ∫ x x 2 + 3   d x

E as duas integrais podem ser resolvidas da mesma forma. Temos uma razão entre a derivada de uma função (ou quase) e a própria função: estamos falando de logaritmos!

∫ 1 x   d x = ln ⁡ x + C

- ∫ x x 2 + 3   d x = - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

Então:

I 2 = ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

I = I 1 - I 2

I = 2 3 3 arctan ⁡ x 3 - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

Resposta

A integral vale 2 3 3 arctan ⁡ x 3 - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C .

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