Enunciado

Avalie a integral:

int (x^2)/(sqrt(4 x - x^2)) d x

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o termo no denominador. Podemos fazer isso usando a técnica de completar quadrados:

(4 x - x^2) = 4 - (x - 2)^2

Então ficamos com:

I = int (x^2)/(sqrt(4 - (x - 2)^2)) d x

E então vamos fazer uma substituição:

u = x - 2

d u = d x

Colocando isso na integral:

I = int (( u + 2 )^2)/(sqrt(4 - u^2)) d u

Beleza, agora deixamos a integral em um formato bem mais conveniente: podemos aplicar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Quanto temos uma função desse tipo no denominador:

sqrt(a^2 - u^2)

A melhor substituição a fazer é:

u = a sen theta

No nosso caso:

u = 2 sen theta

d u = 2 cos theta d theta

Então:

I = int ((2 sen theta + 2)^2)/(sqrt(4 - 4 sen^2 theta)) (2 cos theta) d theta

I = int (( 2 sen theta + 2 )^2)/(2 cos theta) (2 cos theta) d theta

I = int ( 2 sen theta + 2 )^2 d theta

Passo 3

Agora vamos “abrir” esse parênteses na integral:

I = int ( 2 sen theta + 2 )^2 d theta

I = int (4 sen^2 theta + 8 sen theta + 4) d theta

Os dois últimos termos tem integrais imediatas, mas temos que lembrar de algumas coisas para o primeiro:

int (4 sen^2 theta) d theta

Vamos usar uma identidade trigonométrica:

4 int (1 - cos 2 theta)/(2) d theta = 4 ((1)/(2) theta - (sen 2 theta)/(4)) = 2 theta - sen 2 theta

Então a nossa integral é:

I = 2 theta - sen 2 theta + int (8 sen theta + 4) d theta

I = 2 theta - sen 2 theta - 8 cos theta + 4 theta

Passo 4

E agora só falta “desfazer” as nossas substituições:

theta = arcsen ((1)/(2) u)

theta = arcsen ((1)/(2) (x - 2)) = arcsen ((x)/(2) - 1)

Então:

I = 6 theta - sen 2 theta - 8 cos theta

I = 6 arcsen ((x)/(2) - 1) - sen (2 arcsen ((x)/(2) - 1)) - 8 cos theta

E para substituir o cos theta , é melhor usar outro método:

u = a sen theta => cos theta = sqrt(1 - (u^2)/(a^2))

cos theta = sqrt(1 - (( x - 2 )^2)/((2)^2)) = sqrt(- (x^2)/(4) + x)

Agora é só adicionar uma constante:

I = 6 arcsen ((x)/(2) - 1) - sen (2 arcsen ((x)/(2) - 1)) - 8 sqrt(x - (x^2)/(4)) + C

Resposta

O valor da integral é 6 arcsen ((x)/(2) - 1) - sen (2 arcsen ((x)/(2) - 1)) - 8 sqrt(x - (x^2)/(4)) + C .

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