Enunciado

Bactéria do cólera. Suponha que as bactérias em uma colônia possam crescer sem controle, segundo a lei de variação exponencial. A colônia começa com 1 bactéria e dobra de tamanho a cada meia hora. Quantas bactérias existirão ao final de 24 horas? (Sob condições favoráveis de laboratório, o número de bactérias do cólera pode dobrar a cada 30 minutos. Em uma pessoa infectada, muitas bactérias são destruídas, mas este exemplo ajuda a explicar por que alguém que se sente bem pela manhã pode estar gravemente enfermo à noite.)

Passo 1

Perceba que pela Lei de variação exponencial temos que

y = y 0 e k t

Sabemos que para t = 0 ,   y 0 = 1 . Assim,

y = e k t

Sabemos que em t = 0,5 , y = 2 . Com isso podemos determinar o valor de k , isto é,

2 = e k 0,5 ⇒ ln ⁡ 2 = ln ⁡ e k 0,5

⇒ 0,5   k = ln ⁡ 2 ⇒ k = ln ⁡ 2 0,5 = ln ⁡ 2 1 2 = 2 ln ⁡ 2 = l n ⁡ ( 2 2 ) = l n ⁡ ( 4 )

⇒ k = l n ⁡ ( 4 )

Assim,

y = e l n ⁡ ( 4 ) t

Passo 2

Para t = 24 teremos que

y = e l n ⁡ ( 4 ) 24 = 2,814749767 × 10 14

Ou seja, depois de 24 horas, haverão 2,814749767 × 10 14 bactérias.

Resposta

y = 2,814749767 × 10 14

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