Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y' = 2x / (1 + 2y) , y(2) = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Vem comigo que vou te ajudar a resolver essa atividade.

O problema de valor inicial (PVI) dado é uma equação diferencial ordinária (EDO) de variáveis separáveis:

y ' = d y d x = 2 x 1 + 2 y

Passo 2

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x = 2 x / ( 1   +   2 y )

( 1   +   2 y )   d y =   2 x   d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ ( 1   +   2 y )   d y =   ∫ 2 x   d x

y   +   y 2 + c =   x 2 +   c '  

y   +   y 2 =   x 2 + C  

y   +   y 2 -   C =   x 2

No enunciado há uma informação de que   y ( 2 )   = 0 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y   +   y 2 =   x 2 + C  

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

0   +   0 2 =   2 2 + C  

C   = - 4

Assim, a equação é:

y   +   y 2 =   x 2 - 4

y �� +   y 2 + 1 4 =   4 x 2 - 15

( 2 y   +   1 ) 2 4   =   4 x 2 - 15 4

( 2 y   +   1 ) 2 = 4 x 2 - 15

( 2 y   +   1 ) = 4 x 2 - 15

2 y   = 4 x 2 - 15   –   1

y   = 4 x 2 - 15   -   1 2

Passo 3

b)

Passo 4

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y   = 4 x 2 - 15   -   1 2

O argumento da raiz quadrada na solução explícita deve ser não-negativo:

4 x 2 - 15 ≥ 0 4 x 2 ≥ 15 x 2 ≥ 15 4

Isso implica em:

x ∈ 15 2 , ∞

O denominador da EDO original y ' = 2 x 1 + 2 y não pode ser zero:

1 + 2 y ≠ 0 ⟹ y ≠ - 1 2

Substitua y   =   - 1 / 2 na solução implícita y + y 2 = x 2 - 4 para encontrar os valores de x que causam essa singularidade:

- 1 2 + - 1 2 2 = x 2 - 4 - 1 2 + 1 4 = x 2 - 4 - 1 4 = x 2 - 4 x 2 = 4 - 1 4 = 16 - 1 4 = 15 4 x = ± 15 4 = ± 15 2

Os pontos de singularidade ocorrem em x = ± 15 2 . No entanto, estes são exatamente os pontos onde a função sob a raiz quadrada é zero, o que define o limite do domínio.

Como y x 0 = y 2 = 0 é positivo e a solução cresce para x > 2 , ela nunca atingirá y   =   - 1 2 . A solução é limitada pelo ponto onde a raiz quadrada se anula.

O intervalo de definição da solução que contém x 0 = 2 é:

I = 15 2 , ∞

Resposta

  1. y   = 4 x 2 - 15   -   1 2
  2. I = 15 2 , ∞
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados