Enunciado

Uma bebida contendo 6 % de álcool por litro é bombeada em um tonel que inicialmente contém 400 litros de bebida com 3 % de álcool. A taxa de bombeamento é de 3 litros por minuto, enquanto o líquido misturado é drenado a uma taxa de 4 litros por minuto. Encontre quantos litros de álcool A t há no tanque em qualquer instante. Qual é a porcentagem de álcool no tanque após 60 minutos? Quando o tanque estará vazio?

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:

d A d t = T a x a   d e   E n t r a d a   d e   Á l c o o l - T a x a   d e   S a í d a   d e   Á l c o o l

Ou melhor:

d A d t = R 1 - R 2

No qual A t é a quantidade de álcool na mistura após uma quantidade de tempo t . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!

Passo 2

A questão nos diz que a bebida contém 6 % de álcool por litro e que é misturada em um tonel que contem uma quantidade de bebida que possui 3 % de álcool. Sendo assim, a nossa taxa de entrada será:

R 1 = 6 % . 3 %

R 1 = 18 % = 0,18

E a questão nos diz que o líquido misturado é drenado a uma taxa de 4 litros por minuto. Além disso, sabemos que o tonel já possui 400 litros de bebida inicialmente. Criando uma expressão para isso, teremos:

R 2 = 4 L m i n u t o . A 400 - t

De onde surgiu esse - 1 junto com o t ? Entram 3 litros e saem 4 , então 1 litro é perdido, certo? E como isso é um processo contínuo, então depende temos uma dependência no tempo, claro. Sendo assim, nossa expressão será:

d A d t = 0,18 - 4 A 400 - t

d A d t + 4 400 - t A = 0,18

Então vamos resolver essa equação aí!

Passo 3

O formato dessa equação é:

d A d t + P . A = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

A = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa expressão tiramos que:

P t = 4 400 - t

Q t = 0,18

Substituindo na integral, teremos:

A = e - ∫ 4 400 - t d t . 0,18 ∫ e ∫ 4 400 - t d t d t + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 4 400 - t d t

Vamos fazer u = 400 - t , ok? Disso tiramos que:

d u = - d t

Substituindo na integral, teremos:

- 4 ∫ d u u = - 4 ln ⁡ u

Voltando para t :

∫ 4 400 - t d t = - 4 ln ⁡ 400 - t

Substituindo na nossa solução:

A = e 4 ln ⁡ 400 - t . 0,18 ∫ e - 4 ln ⁡ 400 - t d t + c

Simplificando:

A = 400 - t 4 . 0,18 ∫ 1 400 - t 4 d t + c

Passo 4

Agora temos que resolver essa última integral que apareceu aí:

∫ 1 400 - t 4 d t

Chamando u = 400 - t , teremos:

d u = - d t

Substituindo:

- ∫ u - 4 d u = - - 1 3 u - 3

Voltando para t :

∫ 1 400 - t 4 d t = 1 3 400 - t 3

Substituindo na solução:

A = 400 - t 4 . 0,18 . 1 3 400 - t 3 + c

∴ A t = 0,06 400 - t + c 400 - t 4

A questão nos diz que há 3 % de álcool em 400 litros de bebida inicialmente, o que nos dá:

3 100 . 400 = 12

Então nossa condição inicial será A 0 = 12 , ok? Substituindo, teremos:

12 = 0,06 400 - 0 + c 400 - 0 4

12 = 24 + c 400 4

∴ c = - 12 400 4

Então nossa expressão será:

A t = 0,06 400 - t - 12 400 4 400 - t 4

Passo 5

Agora que temos a expressão de ouro, temos que descobrir qual é a porcentagem de álcool no tanque após 60 minutos. Fazendo A 60 , teremos:

A 60 = 0,06 400 - 60 - 12 400 4 400 - 60 4

A 60 = 20,4 - 12 0,85 4

A 60 = 20,4 - 6,26

∴ A 60 = 14,13 l

E essa é a quantidade de álcool depois de uma hora!

Além disso, a questão também pergunta quando o tanque estará vazio. Como sai 1 litro por minuto e o reservatório tem 400 litros inicialmente, então o tanque estará vazio depois de 400 minutos, não é mesmo? A proporção é de 1 pra 1 nesse caso! 😉

Resposta

A 60 = 14,13 l

O tanque estará vazio após 400   minutos.

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