Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

x 2 + y 2 = 2 c 1 x

Passo 1

E aí, vamos lá fazer mais um de trajetórias ortogonais?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   x 2 + y 2 = 2 c 1 x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

x 2 + y 2 = 2 c 1 x     ( I )

Usando a regra da cadeia:

2 x + 2 y d y d x = 2 c 1

2 y d y d x = 2 c 1 - 2 x

d y d x = 2 c 1 - 2 x 2 y

d y d x = c 1 - x y     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

x 2 + y 2 = 2 c 1 x

c 1 = x 2 + y 2 2 x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = x 2 + y 2 2 x - x y

d y d x = x 2 + y 2 2 x - 2 x 2 2 x y

d y d x = - x 2 + y 2 2 x y

Então a equação diferencial da família dada é

d y d x = - x 2 + y ² 2 x y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - x 2 + y ² 2 x y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 2 x y - x 2 + y ²

d y d x = 2 x y x 2 - y ²

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = 2 x y x 2 - y ²   ( I I I )

Isso é uma equação diferencial homogênea, então vamos usar os super métodos de resolução que vimos lá na teoria e chamar uma nova variável:

z = y x

y = z x

E aí vamos calcular o novo d y d x usando a regra do produto, já que y = z x :

d y d x = d z x d x

d y d x = d z d x x + d x d x . z

d y d x = d z d x x + z

Agora vamos lá na equação ( I I I ) e trocar y por z x e d y d x por d z d x x + z :

d z d x x + z = 2 x ( z x ) x 2 - ( z x ) 2

Agora sim, vamos resolver essa equação diferencial em z e depois voltamos pro y belezinha?

Passo 5

Temos d z d x x + z = 2 x ( z x ) x 2 - ( z x ) 2

d z d x x = 2 x ² z x 2 - z ² x ² - z

d z d x x = 2 z 1 - z ² - z

Fazendo MMC em z

d z d x x = 2 z 1 - z ² - z ( 1 - z 2 ) 1 - z ²

d z d x x = 2 z 1 - z ² - z - z 3 1 - z ²

Então temos a EDO separável:

d z d x x = z + z ³ 1 - z ²

Então olha só:

1 - z ² z + z ³ d z = 1 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 - z ² z + z ³ d z = ∫ 1 x   d x

ln ⁡ z - ln ⁡ | z 2 + 1 | = ln ⁡ x + c 2

Agora vamos voltar para a variável y , lembrando que z = y x :

ln ⁡ y x - ln ⁡ y x + 1 = ln ⁡ x + c 2

Resposta

ln ⁡ y x - ln ⁡ y x + 1 = ln ⁡ x + c 2

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