Responde Aí

Enunciado

Para resolver os exercícios 16 e 17 , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Uma partícula partindo do ponto 1 3 , 0 se move com vetor posição σ t = x t , y t . Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante t é dado por V t = - y t , 3   x t .

b) Determine o vetor posição σ t

Passo 1

Bora lá. Pra começar, vamos lembrar que:

V t = x ' t , y ' t

Então do enunciado, tiramos:

x ' t , y ' t = - y t , 3   x t

x ' t = - y t y ' t = 3   x t

Isso tá estranho né, mas da pra ajeitar! O próprio sistema de equações nos permite isso. Saca só essa manipulação doida:

x ' t = - y t

y t = - x ' t

Derivando:

y ' t = - x ' ' t

Da segunda linha do sistema de equações:

3   x t = - x ' ' t

x ' ' t + 3   x t = 0

E temos ainda, seguindo a mesma lógica:

y ' t = 3   x t

y ' ' t = 3   x ' t

y ' ' t = - 3   y t

y ' ' t + 3   y t = 0

Logo:

x ' ' t + 3   x t = 0 y ' ' t + 3   y t = 0

O que dá um sistema de EDO de 2ª ordem com a mesma cara tanto pra x quanto pra y , logo o mesmo tipo de solução. A equação característica, nos dois casos, é a mesma:

r 2 + 3 = 0

r 2 = - 3

r 2 = 3 ∙ - 1

r = ± 3 ∙ - 1 = ± 3 i

r = 0 ± 3 i

Eita! Raizes complexas na equação característica! Sendo assim a solução vai ter essa cara:

x t = e α t C 1 cos ⁡ β t + C 2 sen ⁡ β t

y t = e α t C 3 cos ⁡ β t + C 4 sen ⁡ β t

Onde:

r = α ± β i

α = 0 β = 3

Logo:

x t = C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sen ⁡ 3 t

y t = C 3 cos ⁡ 3 t + C 4 sen ⁡ 3 t

Passo 2

Agora falta determinar essas constantes, pra isso temos, do enunciado, o ponto inicial:

1 3 , 0

Logo:

x 0 = 1 3 = 3 3

y 0 = 0

Usando essas duas informações:

x 0 = C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 = 3 3 y 0 = C 3 cos ⁡ 0 + C 4 sen ⁡ 0 = 0

C 1 = 3 3 C 3 = 0

O que já adianta a gente na modelagem do vetor posição σ t um pouco:

x t = 3 3 cos ⁡ 3 t + C 2 sen ⁡ 3 t y t = C 4 sen ⁡ 3 t

Agora essa é a parte que falamos do vetor velocidade. Apertem os sinto que vai começar a ficar cheio de letras. Como ele é a derivada da posição...

V t = x ' t , y ' t = - y t , 3   x t

x ' t = - sen ⁡ 3 t + 3   C 2 cos ⁡ 3 t y ' t = 3   C 4 cos ⁡ 3 t

Seja, da igualdade dos vetores velocidade do enunciado e da definição:

x ' t = - y t

y ' t = 3   x t

Temos o seguinte sistema de equações:

- sen ⁡ 3 t + 3   C 2 cos ⁡ 3 t = - C 4 sen ⁡ 3 t 3   C 4 cos ⁡ 3 t = 3 cos ⁡ 3 t + 3 C 2 sen ⁡ 3 t

O que, arrumando, dá:

3   cos ⁡ 3 t C 2 + sen ⁡ 3 t C 4 = sen ⁡ 3 t - 3 sen ⁡ 3 t C 2 + 3 cos ⁡ 3 t C 4 = 3 cos ⁡ 3 t

Agora a gente pode eliminar o C 2 pra achar o C 4 . Pra isso, multiplicamos a primeira linha por 3 sen ⁡ 3 t :

3 3 sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t C 2 + 3 sen 2 ⁡ 3 t C 4 = 3 sen 2 ⁡ 3 t - 3 sen ⁡ 3 t C 2 + 3 cos ⁡ 3 t C 4 = 3 cos ⁡ 3 t

E a segunda linha por 3 cos ⁡ 3 t :

3 3 sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t C 2 + 3 sen 2 ⁡ 3 t C 4 = 3 sen 2 ⁡ 3 t - 3 3 sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t C 2 + 3 cos 2 ⁡ 3 t C 4 = 3 cos 2 ⁡ 3 t

Somando as duas equações, os termos de C 2 somem e ficamos com:

3 sen 2 ⁡ 3 t + 3 cos 2 ⁡ 3 t C 4 = 3 sen 2 ⁡ 3 t + 3 cos 2 ⁡ 3 t

3 sen 2 ⁡ 3 t + cos 2 ⁡ 3 t C 4 = 3 sen 2 ⁡ 3 t + cos 2 ⁡ 3 t

3 1 C 4 = 3 1

C 4 = 1

Logo, fechamos o componente y do vetor posição:

y t = sen ⁡ 3 t

E da seguinte igualdade, tirada lá do vetor velocidade:

y ' t = 3   x t

Tiramos:

x t = 1 3 y ' t

x t = 3 3 cos ⁡ 3 t

Show de bola, então terminamos de modelar o vetor posição. Note que se antes tínhamos:

x t = 3 3 cos ⁡ 3 t + C 2 sen ⁡ 3 t

O valor de C 2 então é 0 . Usando y ' t = 3   x t a gente descobre isso mais rápido do que terminando de resolver o sistema. O vetor posição será:

σ t = 3 3 cos ⁡ 3 t , sen ⁡ 3 t

Resposta

σ t = 3 3 cos ⁡ 3 t , sen ⁡ 3 t

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Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:d) f →
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g →