Enunciado

Se R denota a reação do corpo a algum estímulo de intensidade x , a sensibilidade S é definida como a taxa de variação da reação em relação a x . Um exemplo acontece quando a luminosidade x de uma fonte de luz é aumentada e o olho reage descrevendo a área R da pupila. A fórmula experimental

R = 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

tem sido usada para modelar a dependência de R em x quando R é medido em milímetros quadrados em x em uma unidade apropriada de luminosidade.

(a) Encontre a sensibilidade.

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico de R e S como funções de x . Comente sobre os valores de R e S em baixos níveis de luminosidade. Isso é o que você esperaria?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão! Temos uma formula que nos dá a área da pupila quando é exposto a luminosidade x :

R = 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Onde R é medido em m m 2 e x na unidade apropriada de luminosidade. Sabendo disso a gente deve calcular a sensibilidade S que é a taxa de variação da reação em relação a x . Bora colocar a mão na massa:

S = d R d x = d d x 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Pra isso a gente usa a regra do quociente:

S =   d d x 40 + 24 x 0,4 × 1 + 4 x 0,4 - ( 40 + 24 x 0,4 ) × d d x ( 1 + 4 x 0,4 ) ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

S = 48 5 x - 3 5 × 1 + 4 x 0,4 - 40 + 24 x 0,4 × 8 5 x - 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2  

S = x - 3 5 × 48 1 + 4 x 0,4 - 8 40 + 24 x 0,4 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2  

S = x - 3 5 × 48 + 192 x 0,4 - 32 0 - 192 x 0,4 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

S = x - 3 5 × - 272 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Portanto, a sensibilidade é dada pela função:

S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2

Pronto, um já foi!

Passo 2

Para responder a letra (b) a gente vai plotar o gráfico de R e S em função de x :

No gráfico acima, a R x aparece em vermelho e sua derivada S ( x ) em azul. Pelo gráfico quanto menor o módulo da intensidade do estímulo x , mais a reação do corpo tende ao infinito e a sensibilidade tende ao infinito negativo à medida que a intensidade do estímulo tende a zero por valores maiores do que zero.

O que é esperado nesse caso, é que a descontinuidade da função permanece presente em sua derivada!

Resposta

(a) Sensibilidade é dada pela função S = - 54,4 x 3 5 ( 1 + 4 x 0,4 ) 2   .

(b) Quanto menor o módulo da intensidade do estímulo x , mais a reação do corpo tende ao infinito e a sensibilidade tende ao infinito negativo à medida que a intensidade do estímulo tende a zero por valores maiores do que zero.

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