Enunciado

Se x^2 + y^2 + z^2 = 9 , d x // d t = 5 e d y // d t = 4 , encontre d z // d t quando (x , y , z) = ( 2,2 , 1 ) .

Passo 1

Temos que x, y e z são funções de t, logo suas derivadas são: x ' ( t ) = (d x)/(d t) , y^' (t) = (d y)/(d t) e z ' (t) = (d z)/(d t) .

Derivando a relação x^2 + y^2 + z^2 = 9 :

2 x (d x)/(d t) + 2 y (d y)/(d t) + 2 z (d z)/(d t) = 0

Passo 2

Sendo x = 2 , y = 2 , z = 1 , (d x)/(d t) = 5 e (d y)/(d t) = 4 então (d z)/(d t) é:

2 * 2 * 5 + 2 * 2 * 4 + 2 * 1 (d z)/(d t) = 0

Isolando (d z)/(d t) :

(d z)/(d t) = (- 20 - 16)/(2) = - 18

Resposta

(d z)/(d t) = - 18

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