Enunciado

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

d )   ( x + y )   d x + ( x - y ) d y

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x e Q o de d y :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Vamos verificar isso então:

1 = 1

Bom, então aqui tá ok, a condição necessária foi satisfeita. Vamos achar a primitiva dessa função agora.

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y = ∫ x + y   d x = x 2 2 + x y + A ( y )

φ x , y = ∫ x - y   d y = x y - y 2 2 + B ( x )

(aqui é o mesmo procedimento do campo conservativo)

Uma função que se encaixa nessas igualdades é:

φ x , y , z = x 2 2 + x y - y 2 2

(você pode verificar derivando essa função e chegando na do exercício!)

Então, como a função do exercício admite essa função como primitiva, ela é exata.

Resposta

É exata.

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