Enunciado

(d y)/(d x) + y = (1)/(1 + e^x)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Podemos resolver esse nosso problema fazendo o seguinte

y^' - y = (1)/(1 + e^x)

E agora vamos multiplicar tudo por e^x , assim

e^x y^' - e^x y = (e^x)/(1 + e^x)

Que pode ser resumida em

(del)/(del x) (e^x y) = (1)/(e^(- x) + 1)

Integrando dos dois lados em x temos

e^x y = int (1)/(e^(- x) + 1) d x

Fazendo e^(- x) = u -> - e^(- x) d x = d u -> d x = - d u // u . Desta forma temos

e^x y = int - (d u)/((u + 1) u) = int (d u)/(u + 1) - int (d u)/(u) = ln (u + 1)/(u) + C

y = C e^(- x) + e^(- x) ln ( 1 + e^x )

Resposta

y = C e^(- x) + e^(- x) ln ( 1 + e^x )

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