dy/dx + y = 1 / (1 + e^x)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Podemos resolver esse nosso problema fazendo o seguinte

y ' - y = 1 1 + e x

E agora vamos multiplicar tudo por e x , assim

e x y ' - e x y = e x 1 + e x

Que pode ser resumida em

∂ ∂ x e x y = 1 e - x + 1

Integrando dos dois lados em x temos

e x y = ∫ 1 e - x + 1 d x

Fazendo e - x = u → - e - x d x = d u → d x = - d u / u . Desta forma temos

e x y = ∫ - d u u + 1 u = ∫ d u u + 1 - ∫ d u u = ln ⁡ u + 1 u + C  

y = C e - x + e - x ln ⁡ ( 1 + e x )

Resposta

y = C e - x + e - x ln ⁡ ( 1 + e x )

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