dy/dx = (x^2 - 1) / (y^2 + 1), y(-1) = 1

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

y 2 + 1 d y = x 2 - 1 d x

Pode se ver que, nossa função é exata, visto que foi possível aplicar a separação de variáveis.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Integrando em amnos os lados

∫ ( y 2 + 1 ) d y = ∫ x 2 - 1 d x

Assim temos

y 3 3 + y = x 3 3 - x + c

O que nos faz ficar com

y 3 3 - x 3 3 + y + x = c

Agora resolvendo o problema de valor inicial.

1 3 3 - - 1 3 3 + 1 + - 1 = c = 2 3

Assim podemmultiplicar tudo por 3 e

y 3 - x 3 + 3 y + 3 x = 2

Resposta

y 3 - x 3 + 3 y + 3 x = 2

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