dy/dx = e^(2x) + 3y

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Como este é um problema que não podemos usar a ideia de separação de variáveis, vamos ajeitá-lo para verificar se a equação é exata.

Assim temos

e 2 x + 3 y d x - d y = 0

Assim temos que

∂ ∂ x - 1 - ∂ ∂ y e 2 x + 3 y = - 3

Logo nossa equação não é dita exata e requer um fator integrante.

Temos que

μ x = exp ⁡ ∫ ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = exp ⁡ ∫ - 3 d x = e - 3 x

Assim temos que

e - 3 x e 2 x + 3 y d x - e - 3 x d y = e - x + 3 y e - 3 x d x - e - 3 x d y = 0

Deve ser exata. Vamos verificar ?

∂ ∂ x - e - 3 x - ∂ ∂ y e - x + 3 y e - 3 x = 3 e - 3 x - 3 e - 3 x = 0

Assim podemos dar continuidade na busca da nossa solução.

Passo 3

Agora queremos nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = e - x + 3 y e - 3 x

E

∂ ϕ ∂ y = - e - 3 x

Assim temos que

ϕ = ∫ e - x + 3 y e - 3 x d x = - e - x - y e - 3 x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar - e - 3 x como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y - e - x - y e - 3 x + C ( y ) = - e - 3 x + C ' y = - e - 3 x

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = - e - x - y e - 3 x + C = 0

Resposta

- e - x - y e - 3 x + C

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