Enunciado

t (d y)/(d t) + (t + 1) y = e^(2 t)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e^t e assim

t e^t (d y)/(d t) + (t + 1) e^t y = e^(2 t) e^t = e^(3 t)

A relação da esquerda pode ser resumida em uma derivada simples

(d)/(d t) (t e^t y) = e^(3 t)

Assim nos resta apenas integrar tudo em t , ou seja

t e^t y = int e^(3 t) d t = (e^(3 t))/(3) + C

Então apenas dividindo tudo por t e^t temos que

y = (e^(2 t))/(3 t) + (C)/(t) e^(- t)

Resposta

y = (e^(2 t))/(3 t) + (C)/(t) e^(- t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y + 2 ⋅ x ⋅ y - e - 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0
Resolva a equação diferencial 3 ⋅ x ⋅ y + y 2 + x 2 + x ⋅ y ⋅ y ' = 0 Usando o fator integrante μ x , y = x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y - 1 . Verifique se a solução é a mesma que a obtida no Exemplo 4 com um fato
Mostre que, se ( N x - M y ) / M = Q , em que Q é uma função só de y , então a equação diferencial M + N y ' = 0 Tem um fator integrante da forma μ y = exp ⁡ ∫ Q y d y
Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. x + 2 s e ny + x cos ⁡ y y ' = 0 ,μ x
Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. y + 2 x - y e y y ' = 0 ,μ x , y = y