t \* dy/dt + (t + 1) \* y = e^(2t)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e t e assim

t e t d y d t + t + 1 e t y = e 2 t e t = e 3 t

A relação da esquerda pode ser resumida em uma derivada simples

d d t t e t y = e 3 t

Assim nos resta apenas integrar tudo em t , ou seja

t e t y = ∫ e 3 t d t = e 3 t 3 + C

Então apenas dividindo tudo por t e t temos que

y = e 2 t 3 t + C t e - t

Resposta

y = e 2 t 3 t + C t e - t

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