Enunciado

Um cabo com densidade linear ρ = 2 k g / m é amarrado no topo de dois postes que têm 200 m de distância entre si.

(a) Use o Exercício 52 para encontrar a tensão T de forma que o cabo esteja 60 m acima do solo em seu ponto mais baixo. Qual a altura dos postes?

(b) Se a tensão é dobrada, qual o novo ponto mais baixo do cabo? Qual a altura dos postes agora?

Passo 1

  1. Bom, pelo exercício 52, a forma do cabo é dada pela função:
  2. y = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T

    Essa curva é simétrica em relação ao eixo y , então o ponto 0 ,   f 0 = 0 , T ρ g .

    E os polos são em x = ± 100 .

    Queremos encontrar T tal que T ρ g = 60   .

    Substituindo pelos dados do enunciado ( ρ = 2   e   g = 9,8 )

    T = 60   2 9,8 = 1176   N

    Essa é a tensão pedida.

    A altura no ponto mais baixo então é:

    f 100 = T p g cosh ⁡ ρ g ∙ 100 T  

    f 100 = 60 cosh ⁡ 100 60

    f 100 ≈ 164,50   m

    A altura dos postes então é aproximadamente 164 ,   50 metros.

    Passo 2

  3. Se a tensão é dobrada, teremos: 2 T

E então...

T ρ g   = 60 → 2 T ρ g = 120

Esse será o novo ponto mais baixo.

A altura será:

f 100 = 2 T ρ g cosh ⁡ ρ g   ∙ 100 T

f 100 = 120 cosh ⁡ 100 120

f 100 ≈ 164,13   m

Essa será a nova altura dos postes, um pouquinho diferente da outra.

Resposta

  1. T = 1176   N h = 164 ,   50   m    
  2. 120 h = 164,13   m
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada: 19 )f y = senh ⁡ e 2 y
Prove: t g h( ln ⁡ x ) = x ² - 1 x ² + 1 ² ²
Prove: 1 + t g hx 1 - t g hx = e 2 x
Prove: senh ⁡ x + cosh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + s e n hn x , se n for inteiro positivo.
Prove que a função tangente hiperbólica é ímpar e que a função secante hiperbólica é par.