Enunciado

(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.

(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato.

f x = x + 1 x 2 + 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar o gráfico da função f x = x + 1 x 2 + 1 para estimar os valores de máximo e mínimo locais e estimar também o valor de x em que a função cresce mais rapidamente. Em seguida, nós vamos encontrar um valor exato para essas estimativas.

Beleza, então vamos precisar do gráfico de f :

Com ele, nós vamos verificar se existem “picos” ou “vales”, que representariam pontos de máximo e mínimo da função. Então, nós vamos calcular o valor exato dessa estimativa usando a derivada da função em seus pontos críticos ( f ' x = 0 ).

Além disso, nós vamos verificar em que intervalo essa função tá crescendo mais rápido. Isso significa que vamos verificar o máximo valor da derivada, que é a máxima taxa de variação desse crescimento. Nós fazemos isso calculando a segunda derivada da função e igualando o resultado a zero ( f ' ' x = 0 ).

Vamos lá!

Passo 2

Olhando lá no nosso gráfico do passo 1 , a gente percebe que em x = 1 temos um ponto de máximo local:

f 1 ≈ 1,41

Mas a gente percebe também que não existem pontos de mínimo na curva dessa função. Então, vamos verificar se isso é verdade, calculando os pontos críticos da função.

Derivando f x = x + 1 x 2 + 1 , usando a regra do quociente, temos:

f ' x = 1 - x x 2 + 1 3 / 2

Igualando esse resultado a zero, para encontrar os pontos críticos:

1 - x x 2 + 1 3 / 2 = 0

E como o denominador não pode ser zero, temos apenas:

1 - x = 0

Isolando x :

x = 1

Portanto, x = 1 é o único ponto crítico da função. Substituindo ele em f ( x ) , temos:

f 1 = 1 + 1 1 2 + 1 = 2 2

f 1 = 2

E a raiz de dois é aproximadamente igual a 1,41 , portanto, nossa estimativa estava correta.

Passo 3

Beleza, agora olhando novamente para o gráfico, percebemos que ele cresce mais rapidamente mais ou menos entre x = - 1 2 e x = - 1 4 . Para encontrar o valor exato, nós precisamos encontrar o valor máximo de f ' ( x ) . Fazemos isso, encontrando os valores críticos de f ' ( x ) . Ou seja, vamos derivar a função novamente e igualar esse resultado a zero.

Derivando f ' x = 1 - x x 2 + 1 3 / 2 , usando a regra do quociente, temos:

f ' ' x = 2 x 2 - 3 x - 1 x 2 + 1 5 / 2

Igualando esse resultado a zero:

2 x 2 - 3 x - 1 x 2 + 1 5 / 2 = 0

Como o denominador não zera, temos:

2 x 2 - 3 x - 1 = 0

Encontrando as raízes dessa equação do segundo grau, vamos obter:

x = 3 ± 17 4

Onde x = 3 + 17 4 corresponde ao mínimo valor de f ' ( x ) . E o máximo valor de f ' ( x ) vai ocorrer em x = 3 - 17 4 ≈ - 0,28 , que é bem próximo do valor que estimamos no gráfico.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o → ( 1   ,   2 )

M í n i m o → n ã o   e x i s t e

f '   m á x i m o   e m   x = 3 - 17 4

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