Calcule a integral.

∫ x 3 x - 1 - 4 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão elevada a - 4 , podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x - 1 → x = u + 1

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 3 x - 1 - 4 d x = ∫ u + 1 3 u - 4 d u = ∫ u 3 + 3 u 2 + 3 u + 1 u - 4 d u = ∫ u - 1 + 3 u - 2 + 3 u - 3 + u 4 d u = ∫ 1 u d u + ∫ 3 u - 2 d u + ∫ 3 u - 3 d u + ∫ u - 4 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ 1 u d u + ∫ 3 u - 2 d u + ∫ 3 u - 3 d u + ∫ u - 4 d u = ∫ 1 u d u + 3 ∫ u - 2 d u + 3 ∫ u - 3 d u + ∫ u - 4 d u = = ln ⁡ u + 3 ∙ u - 2 + 1 - 2 + 1 + 3 ∙ u - 3 + 1 - 3 + 1 + u - 4 + 1 - 4 + 1 + C = ln ⁡ u + 3 u - 1 - 1 + 3 u - 2 - 2 + u - 3 - 3 + C = ln ⁡ u - 3 u - 1 - 3 u - 2 2 - u - 3 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x - 1 :

∫ x 3 x - 1 - 4 d x = ∫ 1 u d u + ∫ 3 u - 2 d u + ∫ 3 u - 3 d u + ∫ u - 4 d u = ln ⁡ u - 3 u - 1 - 3 u - 2 2 - u - 3 3 + C = ln ⁡ x - 1 - 3 x - 1 - 1 - 3 x - 1 - 2 2 - x - 1 - 3 3 + C

Resposta

∫ x 3 x - 1 - 4 d x = ln ⁡ x - 1 - 3 x - 1 - 1 - 3 x - 1 - 2 2 - x - 1 - 3 3 + C

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