Enunciado

Um cabo está suspenso entre dois postes conforme a Figura 6.9.2. Suponha que a equação da curva formada pelo cabo seja y = a cosh ⁡ x a , onde a é uma constante positiva. Suponha que

as coordenadas x dos pontos de suporte são x = -   b e x = b , sendo b > 0 .

(a) Mostre que o comprimento de arco L do cabo é dado por

L = 2 a sinh ⁡ b a

(b) Mostre que a flecha S (distância vertical entre o ponto mais alto e o mais baixo ao longo do cabo) é dada por

S = a cosh ⁡ b a - a

Passo 1

Para começarmos o item (a), temos que a derivada de y = a cosh ⁡ x a é y ' = sinh ⁡ x a . Agora, usamos a identidade do seno e cosseno hiperbólicos:

1 + y ' 2 = 1 + sinh 2 ⁡ x a = cosh 2 ⁡ x a

Assim, calculamos o comprimento:

L = 2 ∫ 0 b cosh ⁡ x a d x = 2 a sinh ⁡ x a 0 b

Substituindo, temos:

L = 2 a sinh ⁡ b a

Passo 2

Para o item (b), temos que o ponto mais alto é x = b e o ponto mais baixo x = 0 , substituindo, temos:

S = a cosh ⁡ b a - a cosh ⁡ 0

S = a cosh ⁡ b a - a

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as integrais. ∫ cosh ⁡ ( 2 x - 3 ) d x
Encontre dy/dx. y = sinh ⁡ ( cos ⁡ 3 x )
Encontre dy/dx. y = arc cosh ⁡ ( arcsinh ⁡ x )
Encontre dy/dx. y = e x arcs ech ⁡ ( x )
Mostre que(a) d d x arcsech ⁡ | x | = - 1 x 1 - x 2 (b) d d x arccsch ⁡ | x | = - 1 x 1 + x 2