Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = x y ,     4 x 2 + y 2 = 8

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

y , x = λ ( 8 x , 2 y )

Beleza, daqui a gente tira que:

y = λ 8 x

x = λ 2 y

E precisamos que

4 x 2 + y 2 = 8

Vamos isolar o λ nas duas...

λ = y 8 x = x 2 y

Ou seja, 8 x 2 = 2 y 2 → 4 x 2 = y 2 .

Jogando em   4 x 2 + y 2 = 8   temos:

y 2 + y 2 = 8

2 y 2 = 8

y 2 = 4

y = ± 2

Aí se y = - 2 ,   o   x   vai ser: 4 x 2 = 4 → x = ± 1 .

Se o y = 2 é a mesma coisa...

Passo 2

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 1 , - 2 ,   - 1,2 ,   1 , - 2 ,   ( 1,2 )

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 1 , - 2 = 2
  • f - 1,2 = - 2
  • f 1 , - 2 =   - 2
  • f 1,2 = 2

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - 2 , e o valor máximo é 2 .

Resposta

- 2   e   2

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Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:60) z = x y ;2 x 2 + y 2 = 1 6
Encontre o máximo e mínimo de f x , y = x + y 2 na região D = x , y ∈ R 2 ,x - 2 2 + y 2 ≤ 1
2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por x 2 + y 2 ≤ 1 Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x 2 + y 2 = 1 ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por T x , y
3. Calcule a menor distancia do ponto (0,2) à curva de equação y = x 2 - 4
7. Em que pontos da elipse de equação x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a tangente a esta forma com os eixos coordenadas um triangulo de área mínima ?