Enunciado

Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:

60) z = x y ;   2 x 2 + y 2 = 1 6

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo ou mínimo, mas sabendo que 2 x 2 + y 2 = 16 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   2 x 2 + y 2 = 16

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                                                                         x y

s . a .                                                   2 x 2 + y 2 = 16

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x y - λ ( 2 x 2 + y 2 - 16 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = y - 4 λ x = 0

∂ L ∂ y = x - 2 λ y = 0

∂ L ∂ λ = - ( 2 x 2 + y 2 - 16 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

y = ± 2 . x

Colocando na última equação:

2 x 2 + ( 2 . x ) 2 - 16 = 0

4 x 2 = 16

x 2 = 4

x = ± 2

Substituindo no y:

y = ± 2 2  

Então nós teremos quatro pontos:

2 , 2 2 ,     - 2 , - 2 2 ,     2 , - 2 2 ,     - 2 , 2 2  

Passo 3

Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, basta olharmos função:

z = x y

Para o ponto 2 , 2 2 :

z = 2 × 2 2 = 4 2

Para o ponto - 2 , - 2 2 :

z = - 2 × - 2 2 = 4 2

Para o ponto 2 , - 2 2 :

z = 2 × - 2 2 = - 4 2

Para o ponto - 2 , 2 2 :

z = - 2 × 2 2 = - 4 2

Sendo assim:

2 , 2 2   e   - 2 , - 2 2 →   M á x i m o    

2 , - 2 2   e   - 2 , 2 2 → M í n i m o

Boazinha essa !!

Resposta

2 , 2 2   e   - 2 , - 2 2 →   M á x i m o    

2 , - 2 2   e   - 2 , 2 2 → M í n i m o

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Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 39 da seção 14.7 .Determine a menor distância entre o ponto ( 2 ,0 ,- 3 ) e o plano x + y + z = 1 .
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y = y 2 - x 2 ; 1 4 x 2 + y 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y = 3 x + y ;x 2 + y 2 = 10
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = y z + x y ;x y = 1 , y 2 + z 2 = 1
14.28. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 40