Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x 1 , x 2 , … x n = x 1 + x 2 + … + x n ,     x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

1 , 1 , … , 1 = 2 x 1 ,   2 x 2 … 2 x n λ

Beleza, daqui a gente tira que:

1 = λ 2 x 1

1 = λ 2 x 2

.

.

.

1 = λ 2 x n

E precisamos que

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Vamos isolar o λ ...

Passo 2

λ = 1 2 x 1 = 1 2 x 2 = … 1 2 x n

Daí a gente tira que:

2 x 1 = 2 x 2 … = 2 x n

x 1 = x 2 = … = x n

Substituindo na equação

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

x 1 2 + x 1 2 + … + x 1 2 = 1

n   x 1 2 = 1

x 1 = ± 1 n

x 1 = ± 1 n

Beleza, então temos os pontos:

- 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n   e   1 n , 1 n , … , 1 n

Passo 3

Vamos ver o valor da função nesses pontos então:

f - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n = - n  

f 1 n , 1 n , … , 1 n = n

O valor máximo então é n e o mínimo é - n .

Resposta

- n   e   n

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Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita