Enunciado

Se R = 0,4 × [ - 1,2 ] , use a soma de Riemann com m = 2 , n = 3 para estimar o valor de ∬ R ( 1 - x y 2 ) d A . Tome os pontos de amostragem como

(a) os cantos inferiores direitos e

(b) como os cantos superiores esquerdos dos retângulos.

Passo 1

Letra a:

R e os pontos que serão usados na função. Temos que o intervalo de x é entre 0 ≤ x ≤ 4 e está dividido em m = 2 espaços. Já em y temos o intervalo de - 1 ≤ y ≤ 2 e está dividido em n = 3 . O gráfico desses pontos é:

Considerando os cantos inferiores direitos os pontos são:

2 , - 1 ; 2,0 ; 2,1 ; 4 , - 1 ; 4,0 ; ( 4,1 )

E o valor de Δ A ? É a área de cada um dos retângulos. Cada um deles tem base 2 e altura 1 :

Δ A = 2.1 = 2

Passo 2

Agora vamos estimar o valor de ∬ R x e - x y d A . Usando a fórmula de Riemann:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 3 f x , y Δ A = f 2 , - 1 Δ A + f 2,0 Δ A + + f 2,1 Δ A + f 4,0 Δ A + f 4 , - 1 Δ A + f 4,1 Δ A

E agora vamos aplicar na função f x , y = 1 - x y 2 os pontos das funções:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A ≈ 2 1 - 2 . - 1 2 + 1 - 2 . 0 2 + 1 - 2 . 1 2 + 1 - 4 . - 1 2 + 1 - 4 . 0 2 + 1 - 4 . 1 2

Jogando tudo isso na calculadora teremos:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A = 2 . - 6 = - 12

Passo 3

Letra b: agora o procedimento é quase o mesmo, mas os pontos de amostragem são os dos cantos superiores esquerdos. O desenho desses pontos é:

Considerando os cantos superiores esquerdos os pontos são:

0,0 ; 0,1 ; 0,2 ; 2,2 ; 2,1 ; ( 2,0 )

O valor de Δ A é o mesmo e vale 2 . Agora é só aplicar a fórmula:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A ≈ f 0,0 Δ A + f 0,1 Δ A + + f 0,2 Δ A + f 2,2 Δ A + f 2,1 Δ A + f 2,0 Δ A

E agora vamos aplicar na função f x , y = 1 - x y 2 os pontos das funções:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A ≈ 2 1 - 2 . 1 2 + 1 - 2 . 0 2 + 1 - 2 . 2 2 + 1 - 0 . 1 2 + 1 - 0 . 2 2 + 1 - 0 . 0 2

Jogando tudo isso na calculadora teremos:

∬ R ( 1 - x y 2 ) d A = 2 . - 4 = - 8

Resposta

a ) - 12

b ) - 8

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