Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27, encontre a transformada de Laplace  Y ( s )   =   £ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os problemas de 21 a 24 na Seção 6.1.

y ' ' + y = t ,     0 ≤ t ≤ 1 , 0 ,     1 ≤ t ≤ ∞ ;   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Escrevendo:

y ' ' + y = t ,     0 ≤ t ≤ 1 , 0 ,     1 ≤ t ≤ ∞ ;   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Nós temos que:

L y ' ' + y = L f t

Usando a transformação linear de Laplace, com o Corolário 6.2.2 e tendo os valores iniciais, podemos dizer que:

L y ' ' + y = L y ' ' } + L { y

= s 2 L y - s y 0 - y ' 0 + L y = s 2 L y - 0 - 0 + L { y } = f ( s ) ( s 2 + 1 )

No lado direito da EDO, nós temos que:

L f t = ∫ 0 1 e - s t ( t ) d t + ∫ 1 ∞ e - s t ( 0 ) d t = ∫ 0 1 t e - s t d t

Integrando por partes:

u = t

d u = d t

v = - 1 s e - s t

d v = e - s t d t

Igualando as duas partes da equação, teremos:

f s s 2 + 1 = - t s e - s t 0 1 + ∫ 0 1 1 s e - s t d t

f s s 2 + 1 = - t s e s t - 1 s 2 e s t 0 1 = - t s e s - 1 s 2 e s - 1 s 2

Resolvendo, teremos:

f s s 2 + 1 = - e - s s - e - s s 2 + 1 s 2

Unindo os termos em comum e os mínimos múltiplos comuns:

f s s 2 + 1 = - e - s s + 1 s 2 + 1 s 2

Resposta

f s s 2 + 1 = - e - s s + 1 s 2 + 1 s 2

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