Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27, encontre a transformada de Laplace  Y ( s )   =   £ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os problemas de 21 a 24 na Seção 6.1.

y ' ' + 4 y = 1 ,     0 ≤ t ≤ π , 0 ,     π ≤ t ≤ ∞ ;   s e   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Escrevendo:

y ' ' + 4 y = 1 ,     0 ≤ t ≤ π , 0 ,     π ≤ t ≤ ∞ ;   s e   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Nós temos que:

L y ' ' + 4 y = L f t

Usando a transformação linear de Laplace, com o Corolário 6.2.2 e tendo os valores iniciais, podemos dizer que:

L y ' ' + 4 y = L y ' ' } + 4 L { y = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 + 4 L y

L y ' ' + 4 y = s 2 + 4 L y - s

No lado direito da EDO, nós temos que:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 π 1 . e - s t d t + ∫ π ∞ 0 . e - s t d t

Então:

= - e - s t s 0 π + lim A → ∞ ⁡ ∫ π A 0 d t = - e - s t s + 1 s + lim A → ∞ ⁡ 0 = - e - s t s + 1 s

Combinando as equação a esquerda e a direita da igualdade, nós temos que:

s 2 + 4 L y - s = - e - s t s + 1 s

Reorganizando e isolando L y = f ( s ) :

L y = s s 2 + 4 + 1 - e - π s s ( s 2 + 4 )

Resposta

L y = s s 2 + 4 + 1 - e - π s s ( s 2 + 4 )

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