Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27, encontre a transformada de Laplace  Y ( s )   =   £ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os problemas de 21 a 24 na Seção 6.1.

y ' ' + y = t ,                                 0 ≤ t < 1 , 2 - t ,     1 ≤ t < 2 ; 0 ,                                 2 ≤ t < ∞   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Escrevendo:

y ' ' + y = t ,                                 0 ≤ t < 1 , 2 - t ,     1 ≤ t < 2 ; 0 ,                                 2 ≤ t < ∞   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Nós temos que:

L y ' ' + y = L f t

Usando a transformação linear de Laplace, com o Corolário 6.2.2 e tendo os valores iniciais, podemos dizer que:

L y ' ' + y = L y ' ' } + L { y = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 + L y

L y ' ' + y = s 2 + 1 f ( s )

No lado direito da EDO, nós temos que:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 t . e - s t d t + ∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t d t + ∫ 2 ∞ 0 . e - s t d t

Então:

L f t = ∫ 0 1 t . e - s t d t + ∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t d t

Combinando as equação a esquerda e a direita da igualdade, nós temos que:

L f t = - t e - s t s - e - s t s 2 0 1 + - 2 e - s t s + t e - s t s + e - s t s 2 1 2

Reorganizando e isolando L y = f ( s ) :

L y = 1 s 2 - 2 e - s s 2 + e - s t s 2 = 1 - 2 e - s t + e - 2 s s 2

Agora, igualando as fórmulas, teremos:

s 2 + 1 f s = 1 - 2 e - s t + e - 2 s s 2

f s = 1 - 2 e - s t + e - 2 s s 2 ( s 2 + 1 )

Resposta

f s = 1 - 2 e - s t + e - 2 s s 2 ( s 2 + 1 )

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Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.12. y ' ' + 3 y ' + 2 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 0
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.14. y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 1
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.15. y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 2 ,y ' 0 = 0
Use o resultado d d t e t = e t e ( 1 ) desta seção para calcular L e t
Nos problemas 3 e 4, suponha que uma função y ( t ) tenha a propriedade y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 . Encontre a transformada de Laplace da expressão dada y ' ' + 3 y '