Enunciado

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ >   0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

23-

f x = x 2 ,       L = 4 ,           x 0 = - 2 ,       ϵ = 0.5    

Passo 1

Substituindo os valores em f x - L < ϵ temos:

x 2 - 4 < 0.5

O que se desmembra em duas equações :

x 2 - 4 < 0.5

E

- x 2 + 4 < 0.5

Passo 2

Para a primeira equação temos:

x 2 < 4.5

x < ± 4.5

Para a segunda temos:

- x 2 < - 3.5

x 2 > 3.5

x > ± 3.5

Porém a questão pede que os números limites fiquem próximos de x 0 , logo:

3.5 ≈ 1.87

4.5 ≈ 2.12

- 4.5 < x 0 < - 3.5

Passo 3

Como temos 4 valores limites para x temos que saber qual o melhor intervalo vai nos informar a melhor aproximação para δ .

Então temos:

0 < - 1.87 + 2 < δ

0 < - 2.12 + 2 < δ

O que nos dá os valores para δ

0.13 < δ

0.12 < δ

Um bom valor aproximado para delta é δ = 0.12

Resposta

( - 4.5   ,   - 3.5 )

δ ≈ 0.12

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