Enunciado

Determine o valor exato da expressão: c o s^(- 1) ( - (1)/(sqrt(2)) )

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ c o s^(- 1)_ ” assusta, mas saiba duas coisas:

  1. Isso não é a mesma coisa que (1)/(c o s) !!
  2. Então o que é? É a mesma coisa que a r c c o s . O que é isso? É o arco que tem determinado valor para cosseno

Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( (pi)/(6) ) => s e n 30 ° = (1)/(2) e c o s 30 ° = (sqrt(3))/(2)

45°( (pi)/(4) ) => s e n 45 ° = c o s 45 ° = (sqrt(2))/(2)

60°( (pi)/(3) ) => s e n 60 ° = (sqrt(3))/(2) e c o s 60 ° = (1)/(2)

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Só mais uma coisa: o c o s^(- 1) tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ 0 , pi ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois cossenos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ 0 , pi ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o c o s^(- 1) é a função inversa do cosseno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Sem mais delongas, vamos começar a questão.

O que o nosso problema quer é o c o s^(- 1) ( - (1)/(sqrt(2)) ) , ou seja, o arco cujo cosseno vale - (1)/(sqrt(2)) . Antes, vamos “desmistificar” esse número feio aí. Racionalizando a fração (ou seja, multiplicar em cima e embaixo por sqrt(2 )) , fica - (1)/(sqrt(2)) = - (sqrt(2))/(2) .

Agora, precisamos saber onde o cosseno vale - (sqrt(2))/(2) , entre o intervalo [ 0 , pi ] . Nesse caso, é o 135° ( (3 pi)/(4) ). Logo, essa é a resposta!

Resposta

(3 pi)/(4)

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