Enunciado

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Cada um dos Exercícios 31-36 dá uma função f ( x ) , um ponto x 0 e um número positivo ϵ . Determine L = lim x → x 0 ⁡ f ( x ) . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x .

0 < x - x 0 < δ → f x - L < ϵ

34-

f x = x 2 + 6 x + 5 x + 5 ,   x 0 = - 5 ,     ϵ = 0.05

Passo 1

Encontrando as raízes do numerador encontramos:

Δ = 36 - 4 × 1 × 5 = 16 → Δ = ± 4

x 1 ; x 2 = - 6 ± 4 2 = ( - 5 , - 1 )

Logo podemos reduzir o numerador: ( x + 5 ) ( x + 1 )

f x = ( x + 5 ) ( x + 1 ) x + 5 = x + 1

Encontro o valor de L fazendo o limite temos:

L = lim x → - 5 ⁡ x + 1 = - 5 + 1 = - 4

Passo 2

Com o valor de L temos a seguinte equação :

x 2 + 6 x + 5 x + 5 + 4 < 0.05

O que desmembra nas seguintes equações:

x 2 + 6 x + 5 x + 5 < - 3.95

- x 2 + 6 x + 5 x + 5 < 4.05

Passo 3

Resolvendo a primeira equação temos:

x 2 + 6 x + 5 < - 3.98 x - 19.75

x 2 + 9.98 x + 24.75 < 0

E achamos os seguintes valores para x :

x < - 4.95 ;       x < - 5

Só que 5 é o valor de x 0 e é um ponto de indeterminação do sistema, então não podemos utilizar-lo.

Resolvendo a segunda equação temos:

- ( x 2 + 6 x + 5 ) < 4.05 x + 20.25

x 2 + 6 x + 5 > - 4.05 x - 20.25

x 2 + 10.05 x + 25.25 > 0

E achamos os seguintes valores para x

x > - 5.05 ,       x > - 5

Nosso intervalo é

- 5.05 < x < - 4.95

Passo 4

Calculando o valor de δ temos:

- 5.05 + 5 < δ

- 4.95 + 5 < δ

Logo temos o valor de δ igual a 0.05

Resposta

L = - 4

( - 5.05 , - 4.95 )

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