Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

9) lim x → 3 ⁡ ( x ² ) = 9 ,     ϵ = 0,005

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x ²

a = 3

L = 9

Sendo assim:

0 < x - 3 < δ

f x - 9 < 0,005

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 9 | = 0,005

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 9 = - 0,005

f x 2 - 9 = 0,005

Resolvendo:

f x 1 = 8,995

f x 2 = 9,005

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² = 8,995

x 1 = 2,9992

f x 2 = x 2 ² = 9,005

x 2 = 3,0008

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 3 = δ

Para x 1 :

2,9992 - 3 = 0,0008

Para x 2 :

3,0008 - 3 = 0,0008

Então:

δ = 0,0008

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 9 < 0,005

E sabendo que:

f x = x ²

Podemos substituir:

x ² - 9 < 0,005

( x - 3 ) ( x + 3 ) < 0,005

Pela definição de módulo:

x - 3 | | ( x + 3 ) < 0,005

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 3 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x + 3 ) . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x - 3 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 3 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 3 ) somando 6 aos seus termos:

5 < x + 3 < 7

Então:

| x + 3 | < 7

Sendo assim,

x - 3 | | ( x + 3 ) = x - 3 . 7 < 0,005

x - 3 < 5 7000

x - 3 < 1 1400

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 1400 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

(a) δ = 0,0008

(b) δ = 1 1400

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