Enunciado

Cada um dos Exercícios 31-36 dá uma função f ( x ) , um ponto x 0 e um número positivo ϵ . Determine L = lim x → x 0 ⁡ f ( x ) . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x .

0 < x - x 0 < δ → f x - L < ϵ

33-

f x = x 2 - 4 x - 2 ,   x 0 = 2 ,     ϵ = 0.05

Passo 1

Podemos escrever a equação f ( x ) da seguinte forma:

f x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2

Cortando a parcela ( x - 2 ) ficamos:

f x = x + 2

Encontrando agora o valor de L pelo limite temos:

L = lim x → 2 ⁡ x + 2 = 2 + 2 = 4

Passo 2

O que nos dá a equação:

x 2 - 4 x - 2 - 4 < 0.05

Em alguns casos a função simplificada pode não dar certo, o que não é nesse caso.

A equação desmembra nessas equações:

x 2 - 4 x - 2 < 4.05

- x 2 - 4 x - 2 < - 3.95

x 2 - 4 x - 2 > 3.95

Passo 3

Resolvendo a primeira equação temos:

x 2 - 4 < 4.05 x - 8.1

x 2 - 4.05 x + 4.1 < 0

O que dá valores de x iguais a x < 2.05 e x < 2 , porém x 0 é igual 2, e é um valor indeterminado da função .

Para a segunda equação temos:

x 2 - 4 > 3.95 x - 7.9

x 2 - 3.95 x + 3.9 > 0

O que dá valores de x iguais a x > 1.95 e x > 2 , porém x 0 é igual 2, e é um valor indeterminado da função .

Logo nosso intervalo é 1.95 < x < 2.05

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor de δ :

1.95 - 2 < δ

2.05 - 2 < δ

Logo δ = 0.05

Resposta

( 1.95 ,   2.05 )

δ = 0.05

L = 4

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