Enunciado

Nos exercícios de 15 a 20, faça o seguinte:

  1. Use uma calculadora para tabular, até quatro casas decimais, os valores de f ( x ) para os valores fixados de x . Do que f ( x ) parece tender quando x   se aproxima de c ?
  2. Encontre o ache o l i m x → c f ( x ) e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

1 7 )   f x = x ² + 5 x + 6 x 2 - x - 12 ; x   é - 4 ;   - 3,5 ;   - 3,1 ;   - 3,01 ;   - 3,001 ;   - 3,0001 ; e   x   é - 2 ;   - 2,5 ;   - 2,9 ;   - 2,99 ;   - 2,999 ;   - 2,9999 ;   c = - 3

Passo 1

Na letra a precisamos achar f x para os valores de x dados. Feito isso, devemos observar de quais valores f x quando o nosso x está se aproximando de -3. Isso nos dará o limite calculado diretamente pela função. Já na letra b iremos comprovar esse resultado resolvendo l i m x → c f ( x ) pelos teoremas.

Para resolver a letra a vamos fazer duas tabelas com os valores de x   e f x .

Quando x se aproxima de -3, f ( x ) se aproxima de 0,1428.

Agora devemos calcular o limite pelos teoremas para comprovar o resultado obtido diretamente.

Passo 2

Para a letra b devemos resolver:

l i m x → - 3 x ² + 5 x + 6 x 2 - x - 12 = l i m x → - 3 ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) ( x + 3 ) = l i m x → - 3 ( x + 2 ) ( x - 4 )

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

Sendo assim:

l i m x → - 3 ( x + 2 ) ( x - 4 ) = l i m x → - 3   ( x + 2 ) l i m x → - 3   ( x - 4 )

Usando o Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → - 3   x + 2 = - 3 + 2 = - 1

l i m x → - 3   x - 4 = - 3 - 4 = - 7

Concluindo:

l i m x → - 3   ( x + 2 ) l i m x → - 3   ( x - 4 ) = - 1 - 7 = 1 7

Resposta

  1. 0,1428
  2. l i m x → - 3 x ² + 5 x + 6 x 2 - x - 12 = 1 7
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