Enunciado

Para cada função velocidade v ( t ) dada:

  1. Gere a curva velocidade versus tempo e use-a para fazer uma conjectura sobre o sinal do deslocamento sobre os intervalos de tempo dados.
  2. Use um CAS para encontrar o deslocamento.

v t = t ln ⁡ ( t + 0,1 ) ; 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

(a) A conjectura que ele fala para gente fazer é baseada nessa fórmulinha:

D = ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t

Ela diz que o deslocamento é a área líquida do gráfico da nossa curva no intervalo dado. Olhar a área líquida é dar sinal positivo para a parte da área acima do eixo t e sinal negativo para a parte que estiver abaixo, e somar tudo algebricamente.

Então, para analisar o sinal do deslocamento, vamos analisar o sinal da área líquida. Vamos ver se a área acima do eixo t é maior que a área abaixo do eixo (deslocamento positivo), menor (deslocamento negativo) ou igual (deslocamento nulo).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar o Geobebra (dá para acessar pelo navegador mesmo) para gerar a curva:

Dá para ver que área acima do eixo é menor do que a área abaixo. Então a gente vai esperar um deslocamento negativo.

Passo 3

(b)Agora é só calcular integral:

D = ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t

Que com os nossos dados fica:

D = ∫ 0 1 t ln ⁡ ( t + 0,1 ) d t

Usando o CAS do Geogebra (pelo navegador também):

D = 1 2 ln ⁡ t + 1 10 t + 1 10 2 - 1 10 ln ⁡ t + 1 10 t + 1 10 - 1 4 t + 1 10 2 + 1 10 t + 1 10 ​ 0 1

D = - 0,16433

Nossa estimativa estava certinha. Deu negativo.

Resposta

  1. Negativo
  2. D = - 0,16433
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica. x = t y = t 2 e x = 1 + t y = 1 + 3 t
Calcular a área da região S, hachurada na Figura 8.12. x = k ( t - s e nt ) y = k ( 1 - cos ⁡ t )
Calcular a área delimitada pela hipociclóide x = 4 sen 3 ⁡ t y = 4 cos 3 ⁡ t
Calcular a área da região delimitada pela elipse x = 3 cos ⁡ t y = s e nt
Calcular a área da região limitada à direita pela elipse x = 3 cos ⁡ t y = 2s e nt ,e à esquerda pela reta x = 3 3 2 .