Enunciado

Suponha que uma região R do plano seja decomposta em duas regiões, R 1 e R 2 , cujas áreas sejam A 1 e A 2 , respectivamente, e cujos centroides sejam e ( x - 1 , y - 1 ) e ( x - 2 , y - 2 ) respectivamente. Investigue o problema de expressar o centroide de R em termos de A 1 , A 2 , ( x - 1 , y - 2 ) e ( x - 2 , y - 2 ) . Escreva um relatório curto sobre suas investigações e apoie suas conclusões com argumento plausíveis. Podemos estender esses resultados a decomposições de R em mais do que duas regiões?

Passo 1

Cara, a gente vai ter que refletir um pouquinho. O que ele está perguntando é se dá para obter o centroide de uma região composta por outras duas, sabendo o centroide e a área dessas duas regiões.

O centroide é o ponto de equilíbrio (centro de gravidade) de uma lâmina de densidade constante δ . Por isso, podemos achar o momento de uma lâmina dessas em torno do eixo x , multiplicando a massa pela coordenada y do centroide, assim:

M x = M y -

Sendo,

M = δ A

Para região R 1 , ficamos com:

M x 1 = δ A 1 y - 1 ,     M 1 = δ A 1

E para região R 2 , ficamos com:

M x 2 = δ A 2 y - 2 ,     M 2 = δ A 2

O momento dessas duas regiões juntas em torno de x fica sendo a soma desses dois momentos:

M x = δ A 1 y - 1 + A 2 y - 2

Mas a gente tem uma fórmulinha alternativa para a coordenada y - do centro de gravidade que é:

y - = M x M

Substituindo o que a gente achou para a união das regiões:

y - = δ A 1 y - 1 + A 2 y - 2 δ A 1 + A 2 = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 A 1 + A 2

Daí a gente tira que: a coordenada do centroide da união das duas regiões é uma média ponderada das coordenadas dos centroides de cada região, com base nas áreas.

Passo 2

Fazendo o mesmo procedimento, mas olhando para o momento em torno do eixo y :

M y = δ A   x -

M y 1 = δ A 1 x - 1

M y 2 = δ A 2 x - 2

Somando os dois momentos e jogando na fórmula do centro de gravidade da união das regiões (que podemos chamar de centroide, porque δ é constante):

x - = M y 1 + M y 2 M 1 + M 2 = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 A 1 + A 2

Daí a gente vê que a coordenada x - também vai ser uma média ponderada.

Quanto maior uma das regiões, mais próximo do centroide dela estará o centroide da união.

Passo 3

Podemos tentar estender essa ideia para uma região dividida em n regiões. Para cada região, temos que:

M x i = δ A i y - i ,     M i = δ A i

Usando a fórmula do centro de massa:

y - = M x M = δ ( A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + … + A n y - n ) δ ( A 1 + A 2 + … + A n ) = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + … + A n y - n A 1 + A 2 + … + A n

Vemos que para qualquer número de regiões a coordenada y do centroide é igual a uma média ponderada de todas as coordenadas y . Para a coordenada x é a mesma coisa:

x - = M y M = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + … + A n x - n A 1 + A 2 + … + A n

O que responde a pergunta que ele fez: a gente pode sim estender essa ideia para quantas regiões quisermos. 😊

Resposta

Podemos sim estender os resultados. Discussão nos passos

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