Enunciado

Use um CAS para encontrar a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

A lâmina delimitada pelo gráfico de y = cos ⁡ x , y = s e n   x , x = 0 ,   x = π / 4 ; δ = 1 + 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar a massa pela expressão:

m = A δ

Já que a densidade δ é constante. E encontrar o centro de gravidade usando nossas fórmulinhas:

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a área da nossa lâmina:

A região descrita por ela é limitada por cima pela função y = cos ⁡ x   e por baixo pela função y = s e n   x . Pelo gráfico, vemos que nossa região está no intervalo [ 0 , π / 4 ] .

Podemos então dizer que a área pode ser achada pela integral:

A = ∫ 0 π / 4 cos ⁡ x - s e n   x d x = s e n π 4 + cos ⁡ π 4 - s e n   0 - cos ⁡ 0 = 2 - 1

Então a massa é:

m = A δ = 1 + 2 ⋅ 2 - 1 = 2 - 1 = 1

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centro de gravidade por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = cos ⁡ x (por cima) e y = s e n   x (por baixo). E em x , entre 0 e π / 4   .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

x - = 1 1   ∫ 0 π / 4 1 + 2 x ( cos ⁡ x - s e n   x ) d x

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

x - = 2 π 4 - 1 1 + 2

Passo 4

Agora a coordenada y - . A gente pode usar essa fórmula aqui:

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = cos ⁡ x (por cima) e y = s e n   x   (por baixo). E em x , entre 0 e π / 4 .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

y - = 1 1   ∫ 0 π / 4 2 + 1 2 ( cos 2 ⁡ x - s e n 2 x ) d x

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

y -   = 2 + 1 4

Temos que o nosso centro de gravidade está no ponto:

x - ,   y - = 2 π 4 - 1 1 + 2 , 2 + 1 4

Resposta

m = 1

x - ,   y - = 2 π 4 - 1 1 + 2 , 2 + 1 4

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