Enunciado

Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:

f x = 3 x + 1

Passo 1

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x + 1 = 0

x = - 1

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → - 1 + ⁡ f x

E

lim x → - 1 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com

lim x → - 1 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 1 + ⁡ 3 x + 1 = 3 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 1 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 1 , logo o nosso denominador, que é x + 1 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

E isso nos diz que

lim x → - 1 + ⁡ 3 x + 1 = + ∞

Passo 3

Começando com

lim x → - 1 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 1 - ⁡ 3 x + 1 = 3 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 1 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 1 , logo o nosso denominador, que é x + 1 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 1 - ⁡ 3 x + 1 = - ∞

Passo 4

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 1

É assíntota vertical.

Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.

Porque quando x chegar próximo de - 1 por valores ele decresce indefinidamente, e quando ele estiver um pouco depois, ou seja, por valores maiores ele vai crescer indefinidamente.

O esboço vai ficar

Repara que antes do - 1 a função desce loucamente.

E depois do - 1 ela vem lááááá do + ∞

Resposta

Assíntota vertical:

x = - 1

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Determine o limite l i m x → 1 + 1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3
lim x → - 2 - ⁡ 1 x 2 - 4
Determine o limite l i m x → 0 +1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3
Determine o limite l i m t → 0 +2 - 3 t 1 3
Determine o limite l i m x → 0 -1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3