Enunciado

Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 c/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16   c m 2 ?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui deveremos utilizar nosso conhecimentos de calculo, principalmente o conceito de derivadas como taxas de variação.

A primeira coisa que devemos fazer é relacionar a área em função de seu comprimento.

Sabemos que se x é o tamanho dos lados do quadrado, então a área A x é dada por:

A = x 2

Passo 2

Vamos chamar de d V d t a taxa com qual o lado aumenta, pois é essa a velocidade com qual o lado do quadrado está aumentando.

Se x varia com o tempo t e a área varia em função de x então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo:

d V d t = 2 x ∙ d x d t

Quando a área é 16   c m 2 :

A = 16 = x 2 ⇒ x = 4

Se x aumenta a uma taxa de 6 c/s, então d x d t = 6 . Assim:

d V d t = 2 x ∙ d x d t

d V d t = 2 4 ∙ 6 = 48   c m 2 / s

Logo, a área do quadrado nesse instante varia a uma razão de 48   c m 2 / s .

Resposta

A área do quadrado nesse instante varia a uma razão de 48   c m 2 / s .

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