Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.8 - Ex. 20

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desse livro

(a) Quanto tempo levará para um investimento dobrar de valor se a taxa de juros for de 6 % , capitalizados continuamente?

(b) Qual a taxa de juros anual equivalente?

Passo 1

Item a:

Em problemas de capitalização de juros, temos a fórmula recorrente representada por:

A t = A 0 1 + r n n t

Onde as variáveis são:

A t : A quantia em função do tempo;

A 0 : A quantia inicial;

t : O tempo em anos;

r : A taxa de juros;

n : O número de capitalizações por ano.

Neste caso, como a taxa de juros é capitalizada continuamente, n tende ao infinito e isso nos dá a seguinte relação:

A t = A 0 e r t

A taxa de juros é de 6 % , então, r = 0,06 .

Queremos o tempo t para que um investimento dobre seu valor inicial, então A t = 2 × A 0 :

A t = 2 × A 0 = A 0 e r t

e 0,06 × t = 2

0,06 t = ln ⁡ 2

t = ln ⁡ 2 0,06 = 11,552424

Logo, é necessário aproximadamente 11,6 anos para que o investimento dobre.

Passo 2

Item b:

A taxa de juros anual equivalente pode ser obtida através da fórmula:

A t = A 0 1 + r n n t

A taxa procurada diz respeito à taxa de juros que aplicada anualmente dobre seu valor inicial em t = ln ⁡ 2 0,06 anos. Se a taxa é anual, então n = 1 já que só será computada uma vez ao ano.

Tendo os dados vamos aplicar na fórmula:

A t = A 0 1 + r n n t

2 × A 0 = A 0 1 + r 1 1 × ln ⁡ 2 0,06

r + 1 ln ⁡ 2 0,06 = 2

r + 1 = 2 0,06 ln ⁡ 2

r = 2 0,06 ln ⁡ 2 - 1 = 0,06183654655

Logo, a taxa de juros anual equivalente é aproximadamente 6,2 % ao ano.

Resposta

(a) É necessário aproximadamente 11,6 anos para que o investimento dobre.

(b) A taxa de juros anual equivalente é aproximadamente 6,2 % ao ano.

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