Enunciado

Use a definição de derivada para mostrar que

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho com vocês?

Bom essa questão é bem direta. Ela pede pra gente usar a definição de derivada pra provar esse limites aqui:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1

E pra isso precisaremos relembrar qual é a definição da derivada. Ela é essa aqui:

lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Veja, que tomaremos o limite da função para um valor de x tendendo a a , nessa relação.

Então vem comigo ver como faremos isso!

Passo 2

Nosso limites é:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1

Suponhamos que

f x = l n ⁡ ( 1 + x )

E

a = 0

Então, temos que

f a = f 0 = ln ⁡ 1 = 0

Agora vamos calcular a derivada de f ( x ) pela definição, então temos que

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x - 0 x

= lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Que é justamente o limite que devemos calcular.

Note que este limite é o mesmo que calcular a derivada de f ( x ) e avalia-la no ponto x = 0 , pois estávamos calculando a derivada pela definição.

Passo 3

Então, para provar, basta calcularmos f ' ( 0 ) , para isso, vamos calcular f ' ( x ) , sabemos que

f x = ln ⁡ 1 + x

então

f ' x = 1 1 + x

Fazendo x = 0 para calcular f ' ( 0 ) , temos que

f ' 0 = 1 1 + 0 = 1

E assim, conseguimos provar que,

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x - 0 x

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = f ' 0 = 1

Ou podemos escrever somente

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1

Resposta

Demonstração.

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