Enunciado

17. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que:

f x = x - 2 ,   x ≥ 0 x + 2 ,   x < 0

a) ∫ - 2 0 f x d x

b) ∫ - 2 2 f x d x

c) ∫ 0 6 f x d x

d) ∫ - 4 6 f x d x

Passo 1

Vamos lá!! Vou primeiro desenhar o gráfico dessa função.

Sendo a parte em azul, a função x - 2 ,   x ≥ 0 .

E a parte vermelha, a função x + 2 ,   x < 0

Passo 2

Vamos para a letra a), precisamos achar a área que está em destaque, pois vamos de - 2 até 0 .

Temos que calcular a área desse triângulo retângulo, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de - 2 até 0 , então tem comprimento igual a 2 .

O segundo cateto vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 2   x   2 2 = 2

Como a integral é numericamente igual a área, temos:

∫ - 2 0 f x d x = 2

Agora vamos para a letra b)

∫ - 2 2 f x d x

Temos que destacar a área que vai de - 2 a 2 , então fica assim:

Sabemos a área do triângulo em verde, então só vamos calcular a área do triângulo em roxo e somar essas duas áreas:

Temos que calcular a área do triângulo retângulo em roxo, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

O segundo cateto vai de 0 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 2   x   2 2 = 2

Como a integral é numericamente igual a área, e somando a área do triângulo em verde com a área do triângulo em roxo:

∫ - 2 2 f x d x = 2 + 2 = 4

No passo 3, deixarei para fazer a c) e a d)

Passo 3

Vamos para a letra c)

∫ 0 6 f x d x

A área destacada é de 0 até 6 , então é assim:

O triângulo menor já calculamos a área na letra b), essa área vale 2 , então precisamos calcular a área do triângulo em roxo maior.

Temos que calcular a área do triângulo retângulo em roxo, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 2 até 6 , então tem comprimento igual a 4 .

O segundo cateto vai de 0 até 4 , então tem comprimento igual a 4 .

A = 4   x   4 2 = 8

Como a integral é numericamente igual a área, e somando a área do triângulo em roxo pequeno com a área do triângulo em roxo grande, temos:

∫ 0 6 f x d x = 8 + 2 = 10

Agora para terminarmos ufaaaa! Vamos para a letra d)

∫ - 4 6 f x d x

Na letra d), temos que o intervalo é de - 4 até 6 , então destacando a área no gráfico, temos:

A área 1 nos já calculamos e o resultado é 2 , então A 1 = 2

Assim como a soma da área 2 e a área 3, que é igual a 10 , então A 2 + A 3 = 10

Só precisamos calcular a área 4 , sabendo que quando a área da região 4 com sinal é negativa.

Vamos lá

Temos que calcular a área 4, que sendo um triângulo retângulo, é a multiplicação dos catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de - 4 até 2 , então tem comprimento igual a 2 .

O segundo cateto vai de - 2 até 0 , então tem comprimento igual a 2 .

A = 2   x   2 2 = 2

Porém essa área com sinal seria negativa, então temos que A 4 = - 2 .

Como a integral é numericamente igual a área, vamos somar as áreas de todos esses triângulos, vamos lá!

∫ - 4 6 f x d x = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 2 + 10 - 2 = 10

Resposta

(a) 2

(b) 4

(c) 10

(d) 10

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