Enunciado

1 ) Sejam P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Seja B ⊂ Ωum retângulo de lados paralelos aos eixos e de comprimentos Δx e Δy.Prove que existe (s, t) ∈ B tal que

∮ γ P d x + Q d y   = ∂ Q ∂ x s , t - ∂ P ∂ y s , t ∆ x ∆ y

onde γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Aqui vamos precisar usar 2 teoremas para solucionar o Teorema de Green e o Teorema do Valor Medio para Integrais. O teorema de green diz que

∮ γ P d x + Q d y =   ∫ ∫ k ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 2

Já o teorema do Valor médio diz que

∫ a b f x d x = f z b - a

Existe pelo menos um z tal que satisfaça essa equação.

Passo 3

Dessa forma podemos dizer que pelo Teorema de Valor Medio

∫ ∫ k ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y = ∂ Q ∂ x s , t - ∂ P ∂ y s , t ∆ x ∆ y  

Existe pelo menos um s e t tal que satisfaça essa equação. Além disso, ∆ x   e ∆ y são os intervalos de integração de x e y.Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f : R → R uma função. Dizemos que x 0 é um ponto fixo de f se f x 0 = x 0 . Determine os pontos fixos de f x = x 2 - 3 x
Sejam I um intervalo, f uma função contínua em I e tal que f ´ x ≤ M para todo x no interior de I , onde M0 é um real fixo. Prove que quisquer que sejam xey em I f x - f y ≤ M x - y
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = φ t . Sabe-se que φ 0 = 0 e φ 1 = 1 , isto é, nos instantes 0e1 a partícula encontra-se, respectivamente, nas posições x = 0ex = 1 . P
Nos Exercícios de 1 a 4, comprove que as condições ( i ) , ( i i ) e ( i i i ) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor adequad
Suponha que s = f ( t ) seja a equação do movimento de uma partícula sobre uma reta, onde f satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio. Mostre que a conclusão do teorema do valor médio assegura q