Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 10, suponha que todos os autovalores são reais.

(a) Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.

(b) Determine se λ   =   0 é um autovalor.

(c) Encontre valores aproximados para λ 1 e λ 2 , os dois autovalores não nulos de menor módulo.

(d) Estime λ n para valores grandes de n.

y ' ' + λ y = 0 ,     y ' 0 = 0 ,     y 1 + y ' 1 = 0

Passo 1

Assim como na questão passada a solução para λ = 0 será:

y = c 1 x + c 2

Então aplicando a condição de contorno para esse caso nós teremos

y ' 0 = c 1 = 0

y 1 + y ' 1 = c 1 + c 2 + c 1 = c 2 = 0

Então como não temos nenhuma solução a não ser a trivial então λ = 0 não é um autovalor.

Passo 2

E para λ ≠ 0 a solução será igual a:

y = c 1 s e n λ x + c 2 c o s ⁡ ( λ x )

E a equação de y ' será:

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n   ( λ x )

E se aplicarmos as condições de contorno nós vamos obter:

y ' 0 = λ c 1 = 0 → c 1

Portanto a autofunção será igual a:

ϕ x = c 2 c o s ⁡ ( λ x )

Agora aplicando a segunda condição de contorno sabendo que c 1 = 0 nós teremos:

y 1 + y ' 1 = 0

c 2 cos ⁡ λ - c 2 λ s e n λ = 0 → c 2 cos ⁡ λ - λ s e n λ = 0

Dessa forma:

cos ⁡ λ - λ s e n λ = 0

λ   = cos ⁡ λ s e n λ = cot ⁡ λ

Passo 3

Para encontrar os dois valores de λ precisamos plotar os dois gráficos e comparar.

Plotando:

y = λ

E

y = cot ⁡ λ

Com isso encontramos:

λ 1 = 0.74 ; λ 2 = 11.735

Passo 4

Outros valores para λ são:

λ 3 = 41.439

λ 4 = 90.808

λ 5 = 159.903

E uma boa aproximação será:

λ n = n - 1 2 π 2

Resposta

a ) ϕ x = c 2 cos ⁡ λ x   o n d e   λ   = cot ⁡ λ

b )   N ã o ,   e x p l i c a ç ã o   d o   p a s s o   1

c )   λ 1 = 0.74 ; λ 2 = 11.735

d )   λ n = n - 1 2 π 2

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