Enunciado

Em cada um dos Problemas 11 e 12, mostre que o sistema dado não tem soluções periódicas não constantes.

d x d t = x + y + x 3 - y 2 ,     d y d t = - x + 2 y + x 2 y + y 3 3

Passo 1

Tá legal, então, conforme nos foi dado no enunciado, nós teremos as funções F e G da seguinte forma:

F x , y = x + y + x 3 - y 2

G x , y = - x + 2 y + x 2 y + y 3 3

Então, calculando suas derivadas, temos:

F x = 1 + 3 x 2

G y = 2 + x 2 + y 2

Passo 2

Então, com isso, teremos:

F x + G y = 1 + 3 x 2 + 2 + x 2 + y 2

F x + G y = 4 x 2 + y 2 + 3

Então a soma F x + G y será positiva para quaisquer valores de x e y , já que ambos estão elevados ao quadrado e não há nenhum termo negativo na equação.

Passo 3

Então, pelo Teorema 9.7.2, o sistema não pode possuir soluções periódicas não constantes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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