Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

11. y ' ' - y ' - 6 y = 0 ;     y 0 = 1 ,     y ' 0 = - 1

Passo 1

Sabemos que a transformada da soma é igual à soma das transformadas, então:

L y ' ' - y ' - 6 y = L y ' ' - L y ' - L 6 y

E pelo seguinte teorema:

L f ' ( t ) = s L f ( t ) - f ( 0 )

Cada transformada pode ser escrita como:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - s Y s - y 0 - 6 Y s = 0

Sendo Y a transformada e y a função.

Passo 2

Substituindo os valores iniciais dados:

y 0 = 1

y ' 0 = - 1

A equação fica:

s 2 Y s - s + 1 - s Y s - 1 - 6 Y s = 0

s 2 Y s - s Y s - 6 Y s - s + 2 = 0

Agora a gente isola Y :

Y s s 2 - s - 6 = s - 2

Y s = s - 2 s 2 - s - 6

E usa frações parciais, começando reescrevendo o denominador:

Y s = s - 2 ( s - 3 ) ( s + 2 )

E depois fazendo a igualdade:

s - 2 ( s - 3 ) ( s + 2 ) = A s - 3 + B s + 2  

Tiramos MMC do lado direito:

s - 2 ( s - 3 ) ( s + 2 ) = A s + 2 + B ( s - 3 ) ( s - 3 ) ( s + 2 )

E cortamos os denominadores:

s - 2 = A s + 2 + B ( s - 3 )

Quando s = 3 :

5 A = 1

A = 1 5

E quando s = - 2

B = 4 5

Nossas frações então são:

Y s = s - 2 ( s - 3 ) ( s + 2 ) = 1 5 ( s - 3 ) + 4 5 ( s + 2 )  

Passo 3

E pela tabela de transformadas, a função y ( t ) é:

y t = L - 1 Y s = 1 5 e 3 t + 4 5 e - 2 t

Já que:

e a t = 1 s - a

Resposta

y t = 1 5 e 3 t + 4 5 e - 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + 4 y = δ ( t - π ) - δ ( t - 2 π ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. 2 y ' ' + y ' + 4 y = δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Em cada um dosproblemas de 24a27, encontre a transformada de Laplace Y ( s )=£ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t e a t cos ⁡ b t
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t n