Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x

c) A Eq. (iii) será satisfeita se ξ for um autovetor; logo, um modo de proceder é escolher ξ

como uma combinação linear apropriada de ξ ( 1 ) e ξ 2 para que a Eq. (iv) tenha solução, e depois resolvê-la para η . Mas vamos proceder de maneira diferente, seguindo o padrão do

Exercício 17. Primeiro, mostre que η satisfaz:

( A - I ) 2 ξ = 0

Depois, mostre que A - I 2 = 0 . Logo, η pode ser escolhido arbitrariamente, exceto que tem

que ser independente de ξ 1 e de ξ ( 2 ) .

Passo 1

Vamos executar:

( A - I ) 2 ξ = 0

Resultaram em:

5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 ∙ 4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Ok a equação A - I 2 ξ - 0 é verdadeira.

Passo 2

Como acabamos de efetuar é perceptível que A - I 2 = 0 é verdadeiro também. Portanto , η pode ser escolhido arbitrariamente, exceto que tem

que ser independente de ξ 1 e de ξ ( 2 ) .

4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 ∙ 4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Resposta

( A - I ) 2 ξ = 0

É verdadeira.

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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x d) Uma escolha conveniente para η é ( 0 ,0 ,1 ) T . Encontre o ξ correspondente usando a Eq. (iv).Verifique se ξ é um autovetor.
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η n
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como