Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 i - i 1 x  

Passo 1

Encontrando os autovalores dessa matriz nós teremos:

d e t 1 - r i - i 1 - r = 0

Não é por que temos números complexos que a forma de resolver os autovalor muda. Dando prosseguimento no determinante nós teremos:

1 - r 2 + i 2 = 0

r 2 - 2 r + 1 - 1 = 0

r 2 - 2 r = 0

Portanto os autovalores serão:

r 1 = 0

r 2 = 2

Passo 2

Então o autovetor associado ao autovalor r = 0 será ξ 1 e será:

1 i - i 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

E fazendo a multiplicação matricial nós encontramos:

ξ 1 1 + i ξ 2 1 = 0 → ξ 1 1 = - i ξ 2 1

- i ξ 1 1 + ξ 2 1 = 0 → ξ 2 1 = i ξ 1 1

Uma solução para esse sistema é ξ 1 1 = 1 e ξ 2 1 = i , portanto o autovetor será:

ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1 = 1 i

Então a solução para esse autovetor será:

x 1 = c 1 1 i e 0 t = c 1 1 i

Passo 3

Agora o autovetor para r = 2 será:

1 - 2 i - i 1 - 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

O que nos dá:

- 1 i - i - 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial teremos:

- ξ 1 2 + i ξ 2 2 = 0

- i ξ 1 2 - ξ 2 2 = 0

O que nos dá:

i ξ 2 2 = ξ 1 2

ξ 2 2 = - i ξ 1 2

Uma solução para isso é se ξ 1 2 = i e ξ 2 2 = 1 , portanto o autovetor será:

ξ 2 = i 1

Logo a solução para esse autovalor ( r = 2 ) será:

x 2 = c 2 i 1 e 2 t

Então a solução geral será:

x = c 1 1 i + c 2 i 1 e 2 t

Resposta

x = c 1 1 i + c 2 i 1 e 2 t

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