Enunciado

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f ( t ) = ∫ 0 t ( t - τ ) 2 c o s ( 2 τ ) d τ

Passo 1

Reconheça que f (t) é uma convolução integral das duas funções, t e c o s ( 2 t ) A transformada de Laplace de f (t) pode ser encontrada usando o teorema da convolução, que afirma que:

L { ∫ 0 t g ( t - τ ) h ( τ ) d τ } = G ( s ) H ( s ) .

onde G e H são as transformadas de Laplace de g e h, respectivamente.

Passo 2

Portanto,

L { f ( t ) } = L { ∫ 0 t ( t - τ ) 2 c o s ( 2 τ ) d τ } = L { t 2 } L { c o s ( 2 ) } = 2 s s 3 ( s 2 + 4 )

Resposta

L { f ( t ) } = 2 s s 3 ( s 2 + 4 )

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